「マストドンをブラウザで開いて、メニューからホーム画面に追加をすると、いい感じのアプリになる」のは、progressive web app（プログレッシブ ウェブ アプリ）というものです。
モバイル板のTwitterや、不動産アプリのSUUMOなど、他にも色々とあります。
Googleが力を入れてるので、だんだんと増えていくかも。